USO DE MATERIAL TANGIBLE Y GRÁFICO-TEXTUAL EN EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS: SUPERANDO ALGUNAS POSICIONES INGENUAS Juan D. Godino

USO DE MATERIAL TANGIBLE Y GRÁFICO-TEXTUAL EN EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS: SUPERANDO ALGUNAS POSICIONES INGENUAS

Juan D. Godino

En: A. M. Machado y cols. (Ed.), Actas do ProfMat 98 (pp. 117-124). Associaçao de Professores de Matemática: Guimaraes, Portugal

Resumen:

Una preocupación constante en la enseñanza de las matemáticas gira en torno al uso de material manipulativo que permita contextualizar las abstracciones matemáticas y facilitar el aprendizaje. Pero el uso de estos recursos, como también de los simbolismos gráficos y textuales, puede asimismo crear obstáculos para la comprensión de las matemáticas. En este trabajo, tras discutir el concepto de material manipulativo, se analiza esta problemática resaltando el papel de la actividad reflexiva del alumno enfrentado a situaciones problemáticas, como medio de superar dos potenciales 'enfermedades didácticas', el formalismo y el contextualismo.

En las distintas propuestas de reforma del curriculum matemático en las comunidades autónomas españolas, y en otros países, se sugiere el uso de materiales didácticos (generalmente de tipo manipulativo o visual) como un factor importante para mejorar la calidad de la enseñanza. El empleo de modelos geométricos (geoplano, tangram, ...), ábacos, material multibase, dados, fichas, etc. se presenta como de "uso casi obligado" en los niveles primarios y secundarios. Estas propuestas vienen apoyadas por instituciones prestigiosas como el NCTM, que ha dedicado varias publicaciones a este tema. Se suele aducir que "los materiales manipulativos ayudan a los niños a comprender tanto el significado de las ideas matemáticas como las aplicaciones de estas ideas a situaciones del mundo real" (Kennedy, 1986, p. 6).

A pesar de ser un tema de preocupación constante en las diversas propuestas de reforma de la enseñanza de las matemáticas y la abundancia de publicaciones sobre el tema, considero que es necesario profundizar sobre el sentido, fundamento y problemática que plantea a los profesores y a los investigadores en didáctica de las matemáticas el uso de materiales "manipulativos" en el estudio de las matemáticas.

En este trabajo voy a presentar algunas reflexiones sobre esta problemática, agrupadas en torno a los siguientes aspectos:

• la noción de material didáctico y sus tipos;
• funciones semióticas e instrumentales de los sistemas de signos;
• relaciones entre materiales manipulativos, problemas matemáticos y situaciones didácticas;
• la ingeniería didáctica como marco integrador de la investigación científica y la práctica de la enseñanza.

1. Materiales y recursos didácticos

Podemos considerar como material didáctico cualquier medio o recurso que se usa en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En esta categoría se incluyen, por tanto, objetos muy diversos: desde manuales escolares -en su versión escrita, grabaciones en video, programas de ordenador, etc.- a los propios dedos de las manos, piedrecitas, calculadoras, etc. Con objeto de clarificar nuestras ideas vamos a proponer una clasificación propia de los recursos didácticos para añadir a las ya existentes:

• ayudas al estudio: recursos que asumen parte de la función del profesor (organización del contenido de enseñanza, presentación de problemas, ejercicios, conceptos, pruebas de autoevaluación, programas tutoriales de ordenador, etc.). Básicamente se incluyen aquí los manuales escolares, en sus diversas versiones (presentaciones magistrales o de cualquier tipo).
• instrumentos (semióticos) para el razonamiento matemático: Objetos físicos tomados del entorno o específicamente preparados, así como materiales gráficos, textos, palabras, los cuales pueden funcionar como medios de expresión, exploración y cálculo en el trabajo matemático.

Las reflexiones que siguen se refieren a esta segunda clase de recursos didácticos, esto es, a los instrumentos semióticos del trabajo matemático (sea éste profesional o escolar). Nos referiremos a ellos con el nombre genérico de manipulativos (u objetos ostensivos), aunque debemos distinguir entre "manipulativos tangibles" –que ponen en juego la percepción táctil- y "manipulativos gráfico-textuales-verbales" –en los que participan la percepción visual y/o auditiva. Consideramos que también los gráficos, palabras, textos y símbolos artificiales matemáticos se manipulan, al igual que los programas de cálculo y graficación con dispositivos mecánicos o electrónicos. Tanto unos como otros desempeñan funciones semióticas, de representación de las técnicas y conceptos matemáticos, y por tanto, son recursos simbólicos (sistemas de signos matemáticos).

Parece importante reconocer que los materiales propiamente manipulativos (tangibles) desempeñan funciones simbólicas, y que los medios textuales y gráficos también son "manipulables". Veamos, por ejemplo, las manipulaciones simbólicas que se realizan al resolver una sencilla ecuación:

6x + 2 = 3x + 5; 6x - 3x = 5 - 2 ; 3x = 3; x = 3/3 = 1

Estas manipulaciones simbólicas pueden ser "concretadas" de manera tangible con un modelo de la balanza, o mediante un modelo gráfico de áreas, permitiendo atribuir un significado no meramente sintáctico a la ecuación y a las transformaciones realizadas (Filloy y Rojano, 1989).

El carácter dinámico y 'manipulable' de los sistemas de signos matemáticos está siendo potenciado recientemente por el uso de las nuevas tecnologías en las distintas ramas de las matemáticas (Geometría, Cabri; Análisis de Datos, Statgraphics; Cálculo, Derive; etc.)

Funciones del material manipulativo

El análisis de las funciones que pueden desempeñar los materiales manipulativos en la enseñanza de las matemáticas elementales se debe plantear dentro del marco más general del papel de los medios de expresión en la actividad matemática, y de manera más general dentro del estudio de las relaciones entre lenguaje y pensamiento (Vigotsky, 1934). No podemos olvidar que tanto las situaciones-problemas como las entidades abstractas -cualquiera que sea la naturaleza que se les atribuya- necesitan del lenguaje para ser comunicadas o incluso pensadas. Los recursos expresivos desempeñan un papel esencial en el triángulo epistemológico (signo, concepto, objeto), en sus distintas formulaciones, y en las funciones semióticas que se establecen entre dichos elementos (Godino y Recio, 1998).

Las regletas, bloques multibase, los propios dedos de las manos, el geoplano, los dados, etc., son recursos tangibles que permiten formular problemas, juntamente con el lenguaje ordinario y los símbolos artificiales matemáticos. Pero pensamos que no son meros medios de expresión, sino también instrumentos con los que hacer el trabajo matemático, sea escolar o profesional, esto es, se tratan de instrumentos semióticos. En el cálculo aritmético, por ejemplo, los manipulativos textuales permiten la expresión de las cantidades, la realización de operaciones, fijación de los procesos y resultados intermedios, lo que permite localizar y corregir posibles errores, obtener reglas y algoritmos estrechamente ligados a tales expresiones simbólicas. De este modo, el cálculo escrito es un potenciador del cálculo mental, que viene a ser manipulación interiorizada de los lenguajes tangibles, verbales y gráfico-textuales.

Los sistemas de signos matemáticos desempeñan un papel esencial en el trabajo matemático, de manera que el progreso en la puesta a punto de tales recursos está fuertemente relacionado con el avance de las matemáticas. Como afirma Bosch (1994), "El sujeto humano piensa y actúa manipulando objetos sensibles -los ostensivos - que le vienen dados por las instituciones o que él mismo crea deliberadamente. ... los materiales ostensivos son constitutivos de la construcción conceptual y la determinan en gran medida. (p. 466). En su análisis semiótico de las matemáticas, Rotman (1988) llegó a similares conclusiones: "Los números son objetos que resultan de una amalgama de dos actividades, pensar (imaginar acciones) y simbolizar (hacer marcas), las cuales son inseparables: los matemáticos piensan sobre marcas que ellos mismos han imaginado en una existencia potencial" (p. 32).

Pero no todos los instrumentos semióticos son igualmente eficaces para resolver problemas matemáticos. Pensemos, por ejemplo, en la eficacia del sistema de numeración decimal (numerales indo-arábigos) frente a una representación simple mediante piedrecitas o el sistema de numeración romano; o también, en la mayor eficacia del registro escrito algebraico frente al registro oral característico de la aritmética tradicional.

Una vez reconocidas los papeles instrumentales y semióticos de los recursos manipulativos en la actividad matemática tenemos que analizar su eficacia relativa, el espacio y circunstancias en las que cada manipulativo se revela como mejor adaptado a la función requerida. Así, por ejemplo, diversas investigaciones han mostrado que la aritmética oral es más eficaz que la escrita en ciertos contextos etnomatemáticos; que el ábaco japonés puede superar en eficacia a la calculadora; que, como dice el proverbio, "una imagen vale más que mil palabras". Pero tales ventajas se restringen a ámbitos reducidos y específicos frente a la generalidad de los "manipulativos textuales", como se refleja en el uso del lenguaje algebraico en la mayor parte de las matemáticas.

Naturaleza de los conceptos y su relación con los sistemas de signos

Los conceptos matemáticos, incluso los figurales, no están plasmados, reflejados o cristalizados en el material tangible. Una circunferencia, por ejemplo, no es el borde de una cara de una moneda, ni el trazo de una línea perfectamente redonda. Matemáticamente se define como "el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo", o el conjunto de pares de números reales que satisfacen la ecuación x²+y²=r². La expresión "concepto de circunferencia" es signo de un sistema de prácticas actuativas y discursivas asociada a cierta clase de situaciones problemáticas o descripciones del entorno. Los objetos matemáticos (técnicas y estructuras conceptuales) provienen de sistemas de prácticas ante tipos de tareas, no por abstracción empírica de cualidades de objetos ostensivos (Godino y Batanero, 1994; Godino y Batanero, 1998).

En consecuencia, pensamos que un uso irreflexivo del material manipulativo podría constituir obstáculos para la apropiación efectiva del conocimiento matemático. Las acciones matemáticas son virtuales, imaginadas, no reales. Son acciones sobre objetos mentales, "materializados" mediante sistemas de signos específicos.

El paso de la acción física directa sobre material tangible a la acción imaginada apoyada en sistemas de signos puede estar no exento de conflictos. Así, en la clase de matemática, y en los manuales escolares encontramos expresiones tales como:

"Dibuja una recta, un ángulo, etc."

Como entidades abstractas que son, parece obvio que no se puede dibujar una recta o un ángulo. Lo que se dibuja es un objeto ostensivo (manipulable) que evoca o simboliza el objeto abstracto correspondiente. La recta, como entidad matemática, es ilimitada y carece de espesor, no así los dibujos y representaciones gráficas que se hacen de ella. Del mismo modo, un triángulo no es una pieza de material de una forma especial, ni una imagen dibujada sobre el papel. Es una forma controlada por su definición. Los objetos que investiga y manipula el razonamiento geométrico son entidades mentales que Fischbein (1993) denomina conceptos figurales, los cuales "reflejan propiedades espaciales (forma, posición y magnitud), y al mismo tiempo, poseen cualidades conceptuales, como idealidad, abstracción, generalidad y perfección" (p. 143).

Las metáforas de "manipular y ver los objetos matemáticos", como afirma Pimm (1995), son esenciales para la comprensión matemática. Pero como toda metáfora resalta unos aspectos y ocultan otros: manipulamos y vemos los sistemas de signos matemáticos, pero los conceptos matemáticos son intangiles e invisibles. Debemos prestar atención al uso pertinente de las metáforas en el estudio de las matemáticas.

El lenguaje y la práctica escolar impregnan a los objetos matemáticos de unas connotaciones tangibles y visuales de las que progresivamente los alumnos deben desprenderse en los niveles superiores de enseñanza. Al mismo tiempo, las manipulaciones puramente sintácticas y formalistas de los sistemas de signos verbales- textuales pueden ocasionar un aprendizaje memorístico, rutinario, desprovisto de sentido para los alumnos.

Sistemas de signos y situaciones-problemas

El estudio de las matemáticas requiere enfrentar al alumno a problemas o tareas cuya solución son los conocimientos matemáticos pretendidos. Esta confrontación con situaciones-problemas, inductora de la actividad de matematización, contribuirá, además, a su formación integral como persona, objetivo final del proceso educativo.

El uso del material debe permitir el planteamiento de problemas significativos para los estudiantes, que puedan ser asumidos por ellos, apropiados a su nivel e intereses, y pongan en juego los conceptos, procedimientos y actitudes buscadas. El material en sí es inerte, tanto si es tangible como gráfico-textual, y puede ser usado de múltiples maneras indeseables. Por ejemplo, los dados pueden quedar almacenados en el armario de la clase, ser lanzados contra cabeza de los compañeros, contar los puntos marcados en cada cara, etc., actividades nada pertinentes para el estudio de los fenómenos aleatorios. Los aparatos físicos, ni los restantes manipulativos, ofrecen experiencia matemática inmediata en sí mismos. La actividad matemática se pone en juego por las personas enfrentadas a tareas que les resultan problemáticas.

Ahora bien, no es suficiente que el material permita proponer problemas ingeniosos resolubles mediante ideas brillantes al alcance de mentes privilegiadas. Hay que superar la ilusión de transparencia de que el aprendizaje matemático se produce enfrentando al sujeto a problemas aislados, atípicos e ingeniosos. El estudio matemático se hace buscando las similitudes entre los problemas, reduciéndolos a otros más simples para los que tenemos técnicas de solución, y extendiendo las soluciones a otras situaciones y contextos.

El aprendizaje matemático no es consecuencia directa y exclusiva de la confrontación de los alumnos con tareas más o menos problemáticas. Los problemas matemáticos propuestos en clase formarán parte de dispositivos más generales y complejos que son las situaciones didácticas (Brousseau, 1986) Estas situaciones deben contemplar no sólo los momentos de la acción/ investigación personal de los alumnos con las tareas - fase para la cual el material tangible puede desempeñar un papel crucial- sino que deben diseñarse e implementarse, además, momentos de formulación /comunicación de las soluciones, justificación /discusión de las mismas, institucionalización de los conocimientos pretendidos (compaginar las técnicas, el lenguaje y los conceptos puestos en juego con la cultura matemática correspondiente).

Lo que se debe considerar como recurso didáctico no es el material concreto o visual, sino la situación didáctica integral que atiende tanto a la praxis como al logos (discurso), o mejor al sistema de prácticas actuativas y discursivas de las que emergen las técnicas y estructuras conceptuales matemáticas.

Ejemplos de esta clase de unidades didácticas en las que se integra el uso de materiales y las situaciones-problema para el estudio de los fenómenos aleatorios por alumnos de primaria y secundaria puede encontrarlas el lector en el texto de Godino y cols (1987). Un libro escrito con una orientación similar, para el campo del razonamiento combinatorio en secundaria, es el de Batanero y cols (1994).

5. Papel de la ingeniería didáctica

El uso de unos medios de acción específicos para el estudio de las matemáticas (secuencias de situaciones didácticas) por parte de los profesores debe estar basado en descripciones sistemáticas y explicaciones de sus efectos sobre los sistemas para los que son diseñados. ¿Qué aprenden los alumnos tras un proceso de estudio basado en el uso de un material determinado? ¿De qué factores depende el estudio? ¿Podemos aspirar en los niveles de educación obligatoria a que los alumnos adquieran determinadas destrezas en el manejo de sistemas de signos textuales? ¿Cuándo y de qué modo dejar de usar material tangible y pasar al textual?

Hay que reconocer que no tenemos respuestas claras a estas cuestiones. Definen una problemática científico-tecnológica compleja que requiere invertir gran cantidad de tiempo y recursos humanos. Es necesario tomar conciencia de que el uso del material, de cualquier tipo, no comprometa toda la atención de los alumnos, desplazando la propia reflexión matemática. "Usar manipulativos tangibles en la enseñanza de las matemáticas es siempre un medio para un fin, nunca un fin en sí mismo" (Pimm, 1995, p. 13).

Con frecuencia se defiende el uso de distintos sistema de representación para el aprendizaje significativo de las matemáticas, incluyendo las representaciones con material tangible. Pero como afirma Baroody (1989), "desafortunadamente, no hay aún evidencia suficiente disponible para determinar qué modos de presentación son cruciales y qué secuencia de representaciones deberían usarse antes de introducir las representaciones simbólicas" (p. 5). Pensemos, por ejemplo, en la enseñanza a personas invidentes, las cuales pueden aprender cualquier contenido matemático sin el recurso a la percepción visual.

El juego de representaciones es condición necesaria pero no suficiente para el aprendizaje matemático. La eficacia relativa de cada sistema de signos desde el punto de vista instrumental nos debe llevar a descartar algunos de estos sistemas y concentrar los esfuerzos en el dominio de herramientas con perspectivas de futuro. El ábaco japonés, por ejemplo, es un instrumento de cálculo de extraordinaria eficacia para realizar cálculos aritméticos; compite incluso, una vez adquirida cierta destreza, con el uso de la calculadora. Pero se duda de su valor como recurso didáctico en los primeros niveles de enseñanza debido a sus convenciones particulares de representación de los números y la complejidad de su manipulación. Incluso el uso del ábaco ordinario, aunque es una herramienta excelente y útil, está lejos de ser el remedio para las dificultades de la enseñanza y aprendizaje de la aritmética. "Es más que dudoso, por ejemplo, que el ábaco sea el mejor modelo -o siquiera bueno- para el aprendizaje de la multiplicación o la división" (Hernán y Carrillo, 1988, p. 60).

6. Algunas conclusiones

Los análisis semióticos que se están realizando de la actividad matemática por distintos autores (Rotman, 1988; Bosch, 1994; Chevallard, 1995; Pimm, 1995; Nunes, 1997) revelan como esencial el uso de distintos medios expresivos para el desempeño de tal actividad, la cual, aunque es esencialmente mental, se apoya en la acción sobre tales instrumentos semióticos. Estos análisis apoyarían, por tanto, el uso de materiales manipulativos tangibles en los primeros niveles de enseñanza siempre que tales recursos sirvieran de apoyo ostensivo para la reflexión matemática.

En las secciones anteriores hemos enfatizado una cierta precaución respecto del uso ingenuo de los manipulativos tangibles. Pero esa actitud es igualmente aplicable respecto del uso de los manipulativos gráfico-textuales. En general el empleo de los instrumentos semióticos en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas puede estar afectado, entre otras, de dos "enfermedades didácticas":

• el formalismo, consistente en un uso abusivo y prematuro de ostensivos verbales - textuales, y consiguiente pérdida del significado extensional (conexión con las situaciones- problemas) de la actividad matemática;
• el contextualismo, esto es, el uso abusivo y retardado de ostensivos tangibles, y la consiguiente pérdida del sentido intensional (conexión con las generalizaciones matemáticas) de dicha actividad.

La superación de ambas "enfermedades" requiere implementar una dialéctica compleja entre los distintos tipos de ostensivos que promueva la actividad reflexiva del alumno. Esto precisa un gran esfuerzo de investigación para dilucidar qué materiales usar, cuándo, cómo, con quién, así como sobre las conexiones que se deberían establecer entre los manipulativos tangibles, orales y gráfico- textuales, entre las técnicas y estructuras conceptuales matemáticas y las situaciones-problemas que resuelven y organizan tales estructuras. Con relación a esta problemática, que en cierto modo define el campo de investigación sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, nos parece que la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau (1997) y la Teoría de la Educación Matemática Realista desarrollada en el Instituto Freudenthal (Gravemeijer, 1997) son aportaciones relevantes. No obstante, consideramos que la contribución de los profesores para indagar sobre las cuestiones mencionadas es un requisito imprescindible para la mejora efectiva de la educación matemática.

Reconocimiento

Agradezco al Dr. Pablo Flores Martínez las críticas y sugerencias realizadas a una primera versión de este trabajo.

Referencias

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